Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1。
 （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
 （2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB 為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由已知得a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立
得

又
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0）
∴
∴
∴

解得m₁=-2k，
且均滿足3+4k²-m²>0
當(dāng)m₁=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，l的方程為
直線過定點(diǎn)
所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為。