Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1．則不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集是（　　）

• A、(-∞，

  16

  7

  )
• B、(2，

  16

  7

  )
• C、（2，+∞）
• D、(2，

  12

  5

  )

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f（x）＞f（8x-16），再由f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且在其上為增函數(shù)得得到不等式組，即可解得答案．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，
∵f（x）-f（x-2）＞3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)解得，

x＞0 x-2＞0 x＞8x-16

解得，2＜x＜

16

7

．
所以不等式f（x）-f（x-2）＜3的解集為（2，

16

7

）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．