14.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2-3x,函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)g(x)的極值;
(3)設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f(x)的圖象交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),(x1<x2),證明$\frac{1}{{x}_{2}}$<k<$\frac{1}{{x}_{1}}$.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸,斜率為0,求出a即可.
(2)求出函數(shù)的極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后求出函數(shù)的極值.
(3)利用直線的斜率以及導(dǎo)函數(shù)的符號,證明即可.

解答 解:(1)依題意得:g(x)=lnx+ax2-3x,則g′(x)=$\frac{1}{x}$+2ax-3,
函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸
g′(1)=1+2a-3=0,∴a=1…(2分)
(2)由(1)得g′(x)=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$
∵函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋海?,+∞),令g′(x)=0,得x=$\frac{1}{2}$,或x=1.
函數(shù)g(x)在(0,$\frac{1}{2}$)上單調(diào)遞增,在($\frac{1}{2},1$)單調(diào)遞減;在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故函數(shù)g(x)的極小值為g(1)=-2.…(6分).
(3)證明:依題意得$k=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{lnx}_{2}-{lnx}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$⇒lnx2-kx2=lnx1-kx1,
令h(x)=lnx=kx,則h′(x)=$\frac{1}{x}-k$,
由h′(x)=0得:x=$\frac{1}{k}$,當(dāng)x>$\frac{1}{k}$時(shí),h′(x)<0,當(dāng)0<x<$\frac{1}{k}$時(shí),h′(x)>0,
h(x)在(0,$\frac{1}{k}$)單調(diào)遞增,在($\frac{1}{k}$,+∞)單調(diào)遞減,又h(x1)=h(x2),
x1<$\frac{1}{k}$<x2,
即 $\frac{1}{{x}_{2}}$<k<$\frac{1}{{x}_{1}}$…(12分)

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的極值以及單調(diào)性,考查分析問題解決問題的能力.

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