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設λ∈R,f(x)=cosx(λsinx-cosx)+cos2
π
2
-x
)滿足f(-
π
3
)=f(0).
(1)求函數f(x)的對稱軸和單調遞減區(qū)間;
(2)設△ABC三內角A,B,C所對邊分別為a,b,c且
cosA
cosB
=-
a
b+2c
,求f(x)在(0,A]上的值域.
分析:(1)依題意,f(-
π
3
)=f(0)⇒λ=2
3
,從而可求得f(x)=2sin(2x-
π
6
),利用正弦函數的對稱軸方程可求得函數f(x)的對稱軸,繼而可得其單調遞減區(qū)間;
(2)利用正弦定理,可將條件變形為sin(A+B)=-2cosAsinC,可求得A=
3
,利用正弦函數的單調性可求得f(x)在(0,A]上的值域.
解答:解:(1)f(x)=λsinxcosx-cos2x+sin2x
=
1
2
λsin2x-cos2x,
∵f(-
π
3
)=f(0),
∴λ=2
3
…3分
∴f(x)=2sin(2x-
π
6
),
對稱軸為:x=
2
+
π
3
(x∈Z),…5分
∴f(x)=2sin(2x-
π
6
)的單調遞減區(qū)間為[kπ+
π
3
,kπ+
6
](k∈Z)…7分
(2)∵
cosA
cosB
=-
a
b+2c
,由正弦定理,可變形為:sin(A+B)=-2cosAsinC,
∴cosA=-
1
2
,
∴A=
3
------------(10分)
∴x∈(0,
3
],
∴f(x)∈[-1,2]---------------(14分)
點評:本題考查三角函數中的恒等變換應用,著重考查正弦函數的對稱軸方程、單調性及正弦定理,屬于中檔題.
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