Question

下列四個(gè)命題中，正確的命題序號(hào)是

（1）（4）

（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，f(-

2

)是f（x）的極小值，f(

2

)是f（x）的極大值；
（2）設(shè)回歸直線方程為y=2-2.5x，當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加2個(gè)單位；
（3）已知平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），則向量

1

2

a

-

3

2

b

=（-2，-1）；
（4）已知P，Q為拋物線x²=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，-2，過(guò)P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，判斷極大值與極小值，判斷（1）的正誤；
（2）當(dāng)自變量增加一個(gè)單位時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式，把所得的解析式同原來(lái)的解析式進(jìn)行比較，得到y(tǒng)的值平均減少2.5個(gè)單位，判斷（2）的正誤．
（3）直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出

1

2

a

-

3

2

b

的結(jié)果判斷正誤即可．
（4）通過(guò)P，Q的橫坐標(biāo)區(qū)別縱坐標(biāo)，求出二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出切線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)A的縱坐標(biāo)．判斷正誤即可．

解答：解：對(duì)于（1），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（2x-x²）e^x，所以f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-

2

，

2

）；
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故（1）正確．
對(duì)于（2），∵回歸方程

y

=3-2.5x，①當(dāng)自變量由x變?yōu)閤+1時(shí)，y=3-2.5（x+1）②，∴②-①得y-

?

y

=-2.5
即當(dāng)自變量增加一個(gè)單位時(shí)，y的值平均減少2.5個(gè)單位，所以（2）不正確；
對(duì)于（3），平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），則向量

1

2

a

-

3

2

b

=

1

2

(1，1)-

3

2

(1，-1)=（-1，2），所以（3）不正確．
對(duì)于（4），因?yàn)辄c(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，-2，代入拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8，2．
由x²=2y，則y=

1

2

x²，所以y′=x，過(guò)點(diǎn)P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，-2，所以過(guò)點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為y=4x-8，y=-2x-2 聯(lián)立方程組解得x=1，y=-4 故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為-4．所以（4）正確．
正確命題有（1）（4）．
故答案為：（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的求法，線性回歸方程的意義，排趨性的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量的基本運(yùn)算，考查知識(shí)點(diǎn)多，計(jì)算比較麻煩，解題需要仔細(xì)認(rèn)真．