Question

下列四個命題中，正確的命題序號是

（1）（4）

（1）對于函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，f(-

2

)是f（x）的極小值，f(

2

)是f（x）的極大值；
（2）設回歸直線方程為y=2-2.5x，當變量x增加一個單位時，y平均增加2個單位；
（3）已知平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），則向量

1

2

a

-

3

2

b

=（-2，-1）；
（4）已知P，Q為拋物線x²=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為-4．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）進行求導，然后令f'（x）=0求出x，在根據(jù)f'（x）的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性，判斷極大值與極小值，判斷（1）的正誤；
（2）當自變量增加一個單位時對應的解析式，把所得的解析式同原來的解析式進行比較，得到y(tǒng)的值平均減少2.5個單位，判斷（2）的正誤．
（3）直接利用向量的坐標運算求出

1

2

a

-

3

2

b

的結(jié)果判斷正誤即可．
（4）通過P，Q的橫坐標區(qū)別縱坐標，求出二次函數(shù)的導數(shù)，推出切線方程，求出交點的坐標，即可得到點A的縱坐標．判斷正誤即可．

解答：解：對于（1），因為函數(shù)f（x）=（2x-x²）e^x，所以f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

2

），（

2

，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-

2

，

2

）；
∴f（x）的極大值為f（

2

），極小值為f（-

2

），故（1）正確．
對于（2），∵回歸方程

y

=3-2.5x，①當自變量由x變?yōu)閤+1時，y=3-2.5（x+1）②，∴②-①得y-

?

y

=-2.5
即當自變量增加一個單位時，y的值平均減少2.5個單位，所以（2）不正確；
對于（3），平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），則向量

1

2

a

-

3

2

b

=

1

2

(1，1)-

3

2

(1，-1)=（-1，2），所以（3）不正確．
對于（4），因為點P，Q的橫坐標分別為4，-2，代入拋物線方程得P，Q的縱坐標分別為8，2．
由x²=2y，則y=

1

2

x²，所以y′=x，過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，-2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為y=4x-8，y=-2x-2 聯(lián)立方程組解得x=1，y=-4 故點A的縱坐標為-4．所以（4）正確．
正確命題有（1）（4）．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的極值的求法，線性回歸方程的意義，排趨性的簡單性質(zhì)，向量的基本運算，考查知識點多，計算比較麻煩，解題需要仔細認真．