Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（1+mx）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx，其中0＜m≤1．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求證：-1＜x≤0時(shí)，f（x）≤$\frac{{x}^{3}}{3}$；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將m=1代入函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍確定函數(shù)的零點(diǎn)即可．

解答 證明：（1）m=1時(shí)，令g（x）=f（x）-$\frac{{x}^{3}}{3}$，（-1＜x≤0），則g′（x）=$\frac{{-x}^{3}}{1+x}$，
當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，-x³≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）遞增，
∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤$\frac{{x}^{3}}{3}$①；
解：（2）f′（x）=$\frac{mx[x-（m-\frac{1}{m}）]}{1+mx}$，②，
令f′（x）=0，解得：x₁=0或x₂=m-$\frac{1}{m}$，
（i）m=1時(shí)，x₁=x₂=0，由②得f′（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+x}$③，
∴x＞-1時(shí)，1+x＞0，x²≥0，∴f′（x）≥0，f（x）遞增，
∴-1＜x＜0時(shí)，f（x）＜f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，
故函數(shù)y=f（x）在x＞-1上有且只有1個(gè)零點(diǎn)x=0；
（ii）0＜m＜1時(shí)，m-$\frac{1}{m}$＜0，且-$\frac{1}{m}$＜m-$\frac{1}{m}$，
由②得：x∈（-$\frac{1}{m}$，m-$\frac{1}{m}$]時(shí)，1+mx＞0，mx＜0，x-（m-$\frac{1}{m}$）≤0，
此時(shí)，f′（x）≥0，同理得：x∈（m-$\frac{1}{m}$，0]時(shí)，f′（x）≤0，x≥0時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在（-$\frac{1}{m}$，m-$\frac{1}{m}$]，（0，+∞）遞增，在（m-$\frac{1}{m}$，0]遞減，
故m-$\frac{1}{m}$＜x＜0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，
∴f（x）在（m-$\frac{1}{m}$，+∞）有且只有1個(gè)零點(diǎn)x=0，
又f（m-$\frac{1}{m}$）=lnm²-$\frac{1}{2}$（m²-$\frac{1}{{m}^{2}}$），
構(gòu)造函數(shù)ω（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），0＜t＜1，
則ω′（t）=$\frac{{-（t-1）}^{2}}{{2t}^{2}}$④，易知：?t∈（0，1），ω′（t）≤0，
∴y=ω（t）在（0，1）遞減，∴ω（t）＞?（1）=0，
由0＜m＜1得：0＜m²＜1，∴f（m-$\frac{1}{m}$）-ln（m²）-$\frac{1}{2}$（m²-$\frac{1}{{m}^{2}}$）＞0⑤，
構(gòu)造函數(shù)k（x）=lnx-x+1（x＞0），則k′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
0＜x＜≤1時(shí)，k′（x）≥0，x＞1時(shí)，k′（x）＜0，
∴k（x）在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，
∴k（x）≤k（1）=0，∴l(xiāng)n$\frac{1}{{m}^{2}}$≤$\frac{1}{{m}^{2}}$-1＜$\frac{1}{{m}^{2}}$+1，
則${e}^{\frac{1}{{m}^{2}}-1}$＜m²，$\frac{{e}^{\frac{1}{{m}^{2}}-1}}{m}$＜m-$\frac{1}{m}$，
∴-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{{e}^{\frac{1}{{m}^{2}}-1}-1}{m}$時(shí)，m（1+mx）＜-$\frac{1}{{m}^{2}}$-1⑥，
而$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx＜x²-mx＜$\frac{1}{{m}^{2}}$+1⑦，
由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx＜-$\frac{1}{{m}^{2}}$-1+$\frac{1}{{m}^{2}}$+1=0⑧，
又函數(shù)f（x）在（-$\frac{1}{m}$，m-$\frac{1}{m}$]遞增，m-$\frac{1}{m}$＞$\frac{{e}^{\frac{1}{{m}^{2}}-1}-1}{m}$，
由⑤⑧和函數(shù)零點(diǎn)定理得：?x₀∈（-$\frac{1}{m}$，$\frac{{m}^{2}-1}{m}$），使得f（x₀）=0，
綜上0＜x＜＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，m=1時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查不等式的證明以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，是一道綜合題．