Question

已知函數(shù)f（x）=（x-x²）（x²+ax+b）（x∈R），若f（x-1）是偶函數(shù)，則f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x-1）是偶函數(shù)，可得：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），進(jìn)而求出a，b的值后，得到f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x-1）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
則f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），
即-6（4-2a+b）=0且-9（9-3a+b）=0，
解得：a=5，b=6，
∴函數(shù)f（x）=（x-x²）（x²+5x+6）=-x⁴-4x³-x²+6x，
∴f′（x）=-4x³-12x²-2x+6=-2（x+1）（x+1-

10

2

）（x+1+

10

2

），
∵當(dāng)x∈（-∞，-1-

10

2

）∪（-1，-1+

10

2

）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1-

10

2

，-1）∪（-1+

10

2

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
故當(dāng)x=∈-1±

10

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值

9

4

，無(wú)最大值．
故f（x）的值域是[

9

4

，+∞），
故答案為：[

9

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值域，導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度較大．