已知△ABC中，
AB
⊥
AC
，|
AB
-
AC
|=2，點(diǎn)M是線段BC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且
AM
•(
AB
+
AC
)=1，則|
AM
|的取值范圍是
 
．
考點(diǎn)：兩向量的和或差的模的最值
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．由|
AB
-
AC
|=|
CB
|=2，可得b2+c2=4．由向量的平行四邊形法則可得：
AB
+
AC
=
AD
，可得
AM
•(
AB
+
AC
)=
AM
•
AD
=（x，y）•（b，c）=bx+cy=1.|
AM
|=
x2+y2
．利用數(shù)量積的性質(zhì)可得（x2+y2）（b2+c2）≥（bx+cy）2，可得
x2+y2
≥
1
2
，即|
AM
|≥
1
2
．又
x
b
+
y
c
=1，可得1=（bx+cy）(
x
b
+
y
a
)=x2+y2+
cxy
b
+
bxy
a
，于是x2+y2≤1，進(jìn)而得出．
解答： 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)B（0，c），C（b，0），D（b，c），M（x，y）．
∵|
AB
-
AC
|=|
CB
|=2，
∴b2+c2=4．
∵
AB
+
AC
=
AD
，
∴
AM
•(
AB
+
AC
)=
AM
•
AD
=（x，y）•（b，c）=bx+cy=1．
|
AM
|=
x2+y2
，
∵（x2+y2）（b2+c2）≥（bx+cy）2，
∴4（x2+y2）≥1，
∴
x2+y2
≥
1
2
，即|
AM
|≥
1
2
．
又
x
b
+
y
c
=1，
∴1=（bx+cy）(
x
b
+
y
c
)=x2+y2+
cxy
b
+
bxy
c
，
∵b＞0，c＞0，x≥0，y≥0．
∴x2+y2≤1，即
x2+y2
≤1．（當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0時(shí)取等號(hào)）．
綜上可知：
1
2
≤|
AM
|≤1．
故答案為：[
1
2
，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=1，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜
π
2
）則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2 ， 
1
4
)，則
lim
n→∞
(a+a2+…+an)=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=9×2n-1，n∈N*
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=2log2
an
3
+1，Sn是數(shù)列{
1
bnbn+1
}的前n項(xiàng)和，求證：Sn＜
1
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
1
2
1-kx
x-1
為奇函數(shù)．
（I）求常數(shù)k的值；
（Ⅱ）若a＞b＞1，試比較f（a）與f（b）的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=f(x)-(
1
2
)x+m，且g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合P={x，1}，Q={y，1，2}，x，y∈{1，2，3，4，5，6，7}，且P⊆Q，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，從所有滿足這些條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）所表示的點(diǎn)中任取一個(gè)，若該點(diǎn)落在圓x2+y2=R2（R2∈Z）內(nèi)的概率為
2
5
，則滿足要求的R2的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某小組有10人，其中血型為A型有3人，B型4人，AB型3人，現(xiàn)任選2人，則此2人是同一血型的概率為
 
．（結(jié)論用數(shù)值表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|0＜x＜2}，B={-1，0，1}，則A∩B=（　�。�
A、{-1}B、{0}
C、{1}D、{0，1}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0．
（1）當(dāng)且僅當(dāng)m在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓；
（2）當(dāng)m在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求圓心的軌跡方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案