Question

已知：函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m，（其中θ，m為常數(shù)，0＜θ＜

π

2

）圖象的一個對稱中心是(

π

4

， 2)．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（III） 求滿足log

1

2

f(x)＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m，我們易根據(jù)二倍角公式，及輔助角公式，將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，又由函數(shù)圖象的一個對稱中心是(

π

4

， 2)．我們可以構(gòu)造關(guān)于θ和m的方程，解方程即可求出θ和m的值．
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易得到函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，我們易求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（III）利用的運(yùn)算性質(zhì)，我們可將不等式log

1

2

f(x)＞0轉(zhuǎn)化為一個三角函數(shù)不等式，然后根據(jù)（II）的結(jié)論，將不等式化為最簡形式后，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．

解答：解：（I）函數(shù)f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m
=

3

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）+1+m
=2sin（2x+θ+

π

6

）+m+1
又∵圖象的一個對稱中心是(

π

4

，2)
∴

π

2

+θ+

π

6

=kπ，且m+1=2
又∵0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

3

，m=1
（II）由（1）得，函數(shù)的解析式可化為f（x）=2sin（2x+

π

2

）+2=2cos2x+2
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，（k∈Z），
（III）若log

1

2

f(x)＞0
即0＜f（x）＜1
即0＜2cos2x+2＜1
即-1＜cos2x＜-

1

2

即2x∈（2kπ+

2π

3

，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+

4π

3

），（k∈Z），
即x∈（kπ+，kπ+

π

2

）∪（kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

），（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)，余弦型函數(shù)的單調(diào)性及余弦函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二倍角公式，及輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)及已知中函數(shù)圖象的一個對稱中心是(

π

4

， 2)，構(gòu)造關(guān)于θ和m的方程，求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．