已知函數(shù)f(x)=ax2-lnx.
(I)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)P(t,f(t))處的切線至少有兩個不同的公共點(diǎn).

(Ⅰ)解:f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
由f(x)=ax2-lnx,得:f′(x)=2ax-
(1)若a≤0,則f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)是減函數(shù);
(2)若a>0,由,得:
則當(dāng)x∈(0,)時,f′(x)<0,f(x)在(0,)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(,+∞)是增函數(shù).
(Ⅱ)證明:曲線y=f(x)在P(t,f(t))處的切線方程為y=f′(t)(x-t)+f(t),
且P為它們的一個公共點(diǎn).
當(dāng)a=時,,
設(shè)g(x)=f(x)-[f′(t)(x-t)+f(t)],則g′(x)=f′(x)-f′(t),
則有g(shù)(t)=0,且g′(t)=0.
設(shè)h(x)=g′(x)=-x--f′(t),則當(dāng)x∈(0,2)時,h′(x)=-+>0,
于是g′(x)在(0,2)是增函數(shù),且g′(t)=0,
所以,當(dāng)x∈(0,t)時,g′(x)<0,g(x)在(0,t)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(t,2)時,g′(x)>0,g(x)在(t,2)是增函數(shù).
故當(dāng)x∈(0,t)或x∈(t,2]時,g(x)>g(t)=0.
若x∈(2,+∞),則g(x)=-x2-lnx-[f′(t)(x-t)+f(t)]
=-x2+(t+)x-t2-1-ln<-x2+(t+)x-t2-1=-x(x-2t-)-t2-1.
當(dāng)x>2t+時,g(x)<-t2-1<0.
所以在區(qū)間(2,2t+)至少存在一個實(shí)數(shù)x0>2,使g(x0)=0.
因此曲線y=f(x)與其在點(diǎn)P(t,f(t))處的切線至少有兩個不同的公共點(diǎn).
分析:(Ⅰ)對原函數(shù)求導(dǎo),然后分a>0和a≤0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號,a≤0時,f′(x)<0在(0,+∞)恒成立,
a>0時,求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把定義域分段,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=f(x)在點(diǎn)P(t,f(t))處的切線方程,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-[f′(t)(x-t)+f(t)],因?yàn)辄c(diǎn)P(t,f(t))是曲線y=f(x)與切線的公共點(diǎn),只要再說明函數(shù)g(x)有除了t外的另外零點(diǎn)即可,通過對函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用函數(shù)單調(diào)性得到當(dāng)x∈(0,t)或x∈(t,2]時,g(x)>g(t)=0,利用放縮法,借助與不等式說明當(dāng)x>2t+時,g(x)<0,從而說明曲線y=f(x)與其在點(diǎn)P(t,f(t))處的切線至少有兩個不同的公共點(diǎn).
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,對于本題(Ⅱ)的證明,涉及到構(gòu)造函數(shù),特別是證明當(dāng)x>2時g(x)<0,用到了不等式證明中的放縮法,是難度較大題目.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
的解集為
(-∞,-2)
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2x
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