Question

19．已知雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的離心率為$\frac{m}{2}$，且拋物線y²=mx的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（3，y₀）（y₀＞0）在此拋物線上，M為線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到該拋物線的準(zhǔn)線的距離為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 依題意，可求得雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率e=2，于是知m=4，從而可求拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，繼而可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，從而得到答案．

解答 解：∵雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{1+3}}{1}$=$\frac{m}{2}$，
∴m=4，
∴拋物線y²=mx=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1；
又點(diǎn)P（3，y₀）在此拋物線上，M為線段PF的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：$\frac{1+3}{2}=2$，
∴點(diǎn)M到該拋物線的準(zhǔn)線的距離d=2-（-1）=3，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．