【題目】在直角坐標系中，已知一動圓經(jīng)過點且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．

【答案】（1）；（2）證明見解析；．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心坐標，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點坐標，同理可得的坐標，得直線的方程，得其過定點，且得出定點坐標．

試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有

，即得，

∴曲線的方程為．

（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．

同理得．

當或時，直線的方程為；

當且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若且時，有成立．

（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）解不等式；

（3）若對所有的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（a>0且a≠1）是奇函數(shù)．

（1）求常數(shù)k的值；

（2）若已知f（1）=，且函數(shù)在區(qū)間[1，+∞]）上的最小值為—2，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有甲、乙二人去看望高中數(shù)學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇: 2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（　�。�

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解重慶市高中學生在面對新高考模式“3+1+2”的科目選擇中，物理與歷史的二選一是否與性別有關(guān)，某高中隨機對該校50名高一學生進行了問卷調(diào)查得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

選物理

選歷史

合計

男生

5

女生

10

合計

己知在這50人中隨機抽取1人，抽到選物理的人的概率為。

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為物理與歷史的二選一與性別有關(guān)?

0.15

0.10

0.05

0.01

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

（參考公式，其中為樣本容量）

（2）己知在選物理的10位女生中有3人選擇了化學、地理，有5人選擇了化學、生物，有2人選擇了生物、地理，現(xiàn)從這10人中抽取3人進行更詳細的學科意愿調(diào)查，記抽到的3人中選擇化學的有X人，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當時，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在實數(shù)，使得，求正實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數(shù)，使得.

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