【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；

（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對(duì)中的任意一個(gè)，每個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)整數(shù)使得，從而得出結(jié)論.

（1）.

令，解得，

所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，

，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，

由，

對(duì)于中的任意一個(gè)，區(qū)間長(zhǎng)度始終為，大于，

每個(gè)區(qū)間至少含有一個(gè)整數(shù)，

因此，存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.

（1）求證：面；

（2）在線段上求一點(diǎn)，使銳二面角的余弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某學(xué)校的特長(zhǎng)班有50名學(xué)生，其中有體育生20名，藝術(shù)生30名，在學(xué)校組織的一次體檢中，該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測(cè)試，心率全部介于50次/分到75次/分之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，第一組[50,55)，第二組[55,60)，…，第五組[70,75]，按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示．因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因，體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉，若前兩組的學(xué)生中體育生有8名．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及題設(shè)數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表.

心率小于60次/分

心率不小于60次/分

合計(jì)

體育生

20

藝術(shù)生

30

合計(jì)50

(2)根據(jù)(1)中表格數(shù)據(jù)計(jì)算可知，________(填“有”或“沒(méi)有”)99.5%的把握認(rèn)為“心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)”．

P(K2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在的奇函數(shù)滿足：①；②對(duì)任意均有；③對(duì)任意，均有.

（1）求的值；

（2）利用定義法證明在上單調(diào)遞減；

（3）若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在同一直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C的方程變?yōu)?/span>.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作l的垂線l0交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在黃陵中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，將高二兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小組的頻數(shù)是40.

(1)求第二小組的頻率；

(2)求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少？

(3)這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小組內(nèi)？(不必說(shuō)明理由)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線，直線，直線的斜率分別為，且成等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）若點(diǎn)在橢圓上，滿足的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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