Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象一個(gè)最低點(diǎn)為M（

5π

8

，-2），相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值，最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知最低點(diǎn)的坐標(biāo)求得A，由相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

求得周期，利用周期公式求得ω，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ則函數(shù)解析式可求；
（2）直接由x的范圍求得f（x）的最大值，最小值及相應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）由最低點(diǎn)為M(

5π

8

，-2)，得A=2．
相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，即T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
再由最低點(diǎn)為M(

5π

8

，-2)在圖象上得：2sin(2×

5π

6

+φ)=-2，
即sin(

5π

4

+φ)=-1．
故

5π

4

+φ=2kπ+

3π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

4

，k∈Z．
又φ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

4

．
故f(x)=2sin(2x+

π

4

)；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]．
當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）取得最大值2； 
當(dāng)2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)最值得求法，是中檔題．