Question

9．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為-1的等差數(shù)列．令b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．并求其通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由題意寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到a_n+1-a_n=-1，由等比數(shù)列的定義可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得b_n．

解答 證明：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為-1的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×（-1）=3-n，
∴a_n+1-a_n=3-（n+1）-3+n=-1．
則$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}}}{（\frac{1}{2}）^{{a}_{n}}}=（\frac{1}{2}）^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{-1}=2$為常數(shù)．
又$_{1}=（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$，
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴$_{n}=\frac{1}{4}•{2}^{n-1}={2}^{n-3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．