Question

已知向量

a

=(cos(x+

π

8

)，sin2(x+

π

8

))，

b

=(sin(x+

π

8

)，1)，函數(shù)f(x)=2

a

•

b

-1
（I）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其最小正周期；
（II）求函數(shù)y=f(-

1

2

x)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式與兩角和的三角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，求出周期．
（II）利用弦函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的定義求得對(duì)稱中心坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程，由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，求得x的范圍，即得函數(shù)y=f(-

1

2

x)的增區(qū)間．

解答：解：（I）  f(x)=2

a

•

b

-1=2cos(x+

π

8

)sin(x+

π

8

)+2sin2(x+

π

8

)-1
=sin(2x+

π

4

)-cos(2x+

π

4

)=

2

sin2x，∴T=

2π

2

=π．
（II）∵y=f(-

1

2

x)=

2

sin(-x)=-

2

sinx，令y=0即-

2

sinx=0得 x=kπ，
∴對(duì)稱點(diǎn)（kπ，0）k∈Z，由-

2

sinx=±

2

得  x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴對(duì)稱軸方程為x=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵y=f(-

1

2

x)=-

2

sinx的單調(diào)增區(qū)間∴sinx遞減，∴2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，
∴y=f(-

1

2

x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期性，由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，求得函數(shù)y=f(-

1

2

x)的增區(qū)間，是解題的難點(diǎn)．