Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（1，

3

2

），它的一個焦點是F（-1，0）．
（1）求橢圓的方程；
（2）P，Q是橢圓C上的兩個動點，如果直線AP的傾斜角與AQ的傾斜角互補(bǔ)，證明：直線PQ定向（即該直線的斜率為定值）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）方程組

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

得出橢圓的方程．
（2）化簡得出（3+4k²）x²-8k(k-

3

2

)x-4k²-12k-3=0，韋達(dá)定理求解即可．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（1，

3

2

），它的一個焦點是F（-1，0）．
∴

a2=b2+1 1 a2 + 9 4b2 =1

，
a²=4，b²=3，
橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意可知直線AP，AQ斜率均存在，且互為相反數(shù)，
設(shè)直線AP的方程為：y-

3

2

=k（x-1）代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1．化簡得
（3+4k²）x²-8k(k-

3

2

)x-4k²-12k-3=0，其一根為1，
由韋達(dá)定理可得：x_p=

4k2-12k-3

3+4k2

，y_p=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

用-k代入x_Q=

4k2+12k-3

3+4k2

，y_p=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

，
k_PQ=

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，方程的思想，屬于難題，關(guān)鍵是仔細(xì)計算，求解．