Question

已知函數(shù)f（x）=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
（1）求使方程f（x）-m=0（m∈R）存在實(shí)數(shù)解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)a≠0，函數(shù)g（x）=

1

3

ax3-a2x，x∈[0，2]，若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得即求f（x）的值域，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）的最值即可；
（2）由（1）得f（x）∈[0，

2

3

]，故由題意得只要使得函數(shù)g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域?yàn)閇0，

2

3

]的子區(qū)間即可，
利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的值域，列出不等式即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]．
∴f′（x）=

4(3x2+3)-4x•6x

(3x2+3)2

=

4(1-x)(1+x)

3(x2+1)2

，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=

2

3

，又f（0）=0，f（2）=

8

15

，故f（x）_min=0，
∴要使方程f（x）-m=0（m∈R）存在實(shí)數(shù)解時(shí)，則有m∈[0，

2

3

]；
（2）由題意可知，“對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0”成立的充要條件為
“函數(shù)g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域?yàn)閇0，

2

3

]的子區(qū)間”．
當(dāng)a＜0時(shí)，g'（x）=ax²-a²＜0，函數(shù)g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）為減函數(shù)，且g（0）=0，所以此種情況不成立．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=ax²-a²=0，得x²=a，x=

a

．由于g（0）=0，又函數(shù)g（x）=

1

3

ax³-a²x（x∈[0，2]）的值域?yàn)閇0，

2

3

]的子區(qū)間”．
所以，g（x）在區(qū)間[0，2]上必為增函數(shù)，即必有

a

≥2，得a≥4，且g（2）=

8

3

a-2a²≤

2

3

．解得a≤

1

3

或a≥1．
綜合知a≥4即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，以及轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬難題．