Question

已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₇=a₆+2a₅，若存在兩項(xiàng)a_m、a_n使得，則+的最小值為________．

Answer 1

分析：由題意可得 a₆q=a₆+2，解得q=2．由 可得 m+n=5，再由m、n是正整數(shù)，求得 +的最小值．
解答：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由 a₇=a₆+2a₅ ，可得到 a₆q=a₆+2，
由于 a_n＞0，所以上式兩邊除以a₆ 得到q=1+，解得q=2或q=-1．
因?yàn)楦黜?xiàng)全為正，所以q=2．
由于存在兩項(xiàng) a_m，a_n 使得 ，所以，a_m•a_n=8 ，
即 •=8 ，∴q^m+n-2=8，∴m+n=5．
當(dāng) m=1，n=4時，+=2； 當(dāng) m=2，n=3時，+=；當(dāng) m=3，n=2時，+=；
當(dāng) m=4，n=1時，+=．
故當(dāng) m=2，n=3時，+取得最小值為 ，
故答案為．
點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．