已知函數(shù)f(x)=
ax2+bx
，存在正數(shù)b，使得f（x）的定義域和值域相同．
（1）求非零實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-
b
x
有零點(diǎn)，求b的最小值．
（1）若a＞0，對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)?br>D=(-∞，-
b
a
]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)?span mathtag="math" >D=[0，-
b
a
]．
由于此時(shí)[f(x)]max=f(-
b
2a
)=
b
2
-a
，
故函數(shù)的值域A=[0，
b
2
-a
]．
由題意，有-
b
a
=
b
2
-a
，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由f(x)-
b
x
=0，即
-4x2+bx
=
b
x
(0＜x≤
b
4
)，
得4x4-bx3+b2=0．
記h（x）=4x4-bx3+b2，
則h′（x）=16x3-3bx2，令h′（x）=0，x=
3b
16
∈(0，
b
4
]（10分）
易知h(x)在(0，
3b
16
]上遞減；在[
3b
16
，
b
4
]上遞增．
∴x=
3b
16
是h（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)．（12分）
又h(
b
4
)=b2＞0，h(0)→b2＞0，∴由題意有：h(
3b
16
)≤0，（14分）
即4(
3b
16
)4-b(
3b
16
)3+b2≤0，∴b2≥
4
(
3
16
)3
，
故bmin=
128
3
9
．（16分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案