Question

【題目】

已知橢圓C： (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，離心率為，直線y＝x＋b截得橢圓C的弦長(zhǎng)為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線，交橢圓C于點(diǎn)A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) |AB|最大為，m＝±1.

【解析】試題分析：(1)利用條件布列關(guān)于a,b方程組，即可得到橢圓C的方程；(2)討論直線的斜率，進(jìn)而聯(lián)立方程，(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，表示弦長(zhǎng)，進(jìn)而得到|AB|的最大值.

試題解析：

(Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2，

由得

∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝，

∴橢圓C的方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝，

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，

設(shè)AB方程為y＝k(x－m)，

由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，

Δ>0時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

由＝1得k2m2＝k2＋1，

∴|AB|＝＝≤＝，

當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝1時(shí)取“＝”，∴|AB|<，

∴當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|最大為，m＝±1.