Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)C_n=

anbn

4

，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式；由{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由cn=

anbn

4

=

(4n-2)4n-1

4

=(2n-1)4n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，
n=1時(shí)，4n-2=2=a₁，…（4分）
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2．
∵{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₁（a₂-a₁）=b₂，
∴b₁=2，b₁×4=b₂，∴b_n=2•4^n-1．…（6分）
（Ⅱ）∵cn=

anbn

4

=

(4n-2)4n-1

4

=(2n-1)4n-1，
∴Tn=1+3×4+5×42+…+(2n-1)×4n-1，
4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-1)×4n，…（8分）
兩式相減得：
3Tn=-1-2(4+42+…+4n-1)+(2n-1)•4n
=

1

3

[(6n-5)•4n+5]，…（10分）
∴Tn=

1

9

[(6n-5)4n+5]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．