Question

直線l過點(diǎn)P（

4

3

，2）且與x，y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）當(dāng)△AOB的周長為12時(shí)，求直線l的方程；
（2）當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程；
（3）當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；
（4）當(dāng)|AP||BP|最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)直線l方程為y=kx+b，k＜0．△AOB的周長為12時(shí)，

2= 4 3 k+b - b k +b+ (- b k )2+b2 =12

，由此能求出直線l的方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+b，k＜0．當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，

1 2 (- b k )•b=6 2= 4 3 k+b

，由此能求出直線l的方程．
（3）設(shè)直線l的方程為y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，S_△AOB=

1

2

(2-

4

3

k)(

4

3

-

2

k

)，由此利用均值定理能求出直線l的方程．
（4）設(shè)直線l的方程為y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，

AP

•

BP

=

8

3k

+

8k

3

，由此利用均值定理能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵直線l過點(diǎn)P（

4

3

，2）且與x，y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴設(shè)直線l方程為y=kx+b，k＜0．
則直線l交x軸的交點(diǎn)為（-

b

k

，0），y軸交點(diǎn)為（0，b）．
△AOB的周長為12時(shí)，

2= 4 3 k+b - b k +b+ (- b k )2+b2 =12

，解得b=3，k=-

3

4

，
∴直線l的方程為y=-

3

4

x+3．
（2）∵直線l過點(diǎn)P（

4

3

，2）且與x，y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴設(shè)直線l方程為y=kx+b，k＜0．
則直線l交x軸的交點(diǎn)為（-

b

k

，0），y軸交點(diǎn)為（0，b）．
當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，

1 2 (- b k )•b=6 2= 4 3 k+b

，解得

k=- 3 4 b=3

，或

k=-3 b=6

，
∴直線l的方程為y=-

3

4

x+3或y=-3x+6．
（3）設(shè)直線l的方程為y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，
x=0時(shí)，y=2-

4

3

k，y=0時(shí)，x=

4

3

-

2

k

，
∴S_△AOB=

1

2

(2-

4

3

k)(

4

3

-

2

k

)
=

8

3

-

8

9

k-

2

k

≥

8

3

+2

(- 8k 9 )(- 2 k )

=

16

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)-

8k

9

=-

2

k

且k＜0，即k=-

3

2

時(shí)，取等號，
∴直線l的方程為y=-

3

2

（x-

4

3

）+2，即y=-

3

2

x+4．
（4）設(shè)直線l的方程為y=k（x-

4

3

）+2，k＜0，
x=0時(shí)，y=2-

4

3

k，y=0時(shí)，x=

4

3

-

2

k

，∴A（

4

3

-

2

k

，0），B（0，2-

4

3

k），
∴

AP

=（

2

k

，2），

BP

=（

4

3

，

4

3

k），
∴

AP

•

BP

=

8

3k

+

8k

3

=-（-

8

3k

-

8k

3

）≤2

(- 8 3k )(- 8k 3 )

=

16

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)-

8

3k

=-

8k

3

，且k＜0，即k=-1時(shí)，取等號，
∴l(xiāng)的方程為y=x+

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．