已知函數(shù)f(x)=eλx+(1-λ)a-λex,其中α,λ,是常數(shù),且0<λ<1.
(I)求函數(shù)f(x)的極值;
(II)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,是否存在正數(shù)x,使不等式|
ex-1x
-1
|<a成立?若存在,求出x,若不存在,說明理由;
(III)設(shè)λ1,λ2∈(0,+∞),且λ12=1,證明:對(duì)任意正數(shù)a1,a2都有:a1λ1a2λ2≤λ1a12a2
分析:(I)令g(x)=ex,求導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)g′(x)的單調(diào)性,解不等式f′(x)>0,f′(x)<0可得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,由極值定義可得極值;
(II)當(dāng)x>0時(shí),令h(x)=ex-x-1,利用導(dǎo)數(shù)可判斷h(x)的符號(hào),從而可去掉絕對(duì)值號(hào),則不等式變?yōu)閑x-(1+a)x-1<0,令g(x)=ex-(1+a)x-1,存在正數(shù)x使不等式成立,等價(jià)于g(x)min<0,利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)min=a-(1+a)ln(1+a),令s(a)=
a
1+a
-ln(1+a),對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a不等式成立,等價(jià)于s(a)max<0,用導(dǎo)數(shù)易證明;
(III)對(duì)任意正數(shù)a1,a2,存在實(shí)數(shù)x1,x2使a1=ex1,a2=ex2,原不等式a1λ1a2λ2≤λ1a12a2?g(λ1x12x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2),由(1)f(x)≤(1-λ)g(a)恒成立,得g[λx+(1-λ)a]≤λg(x)+(1-λ)g(a),在該不等式中適當(dāng)賦值即可證明;
解答:解:不妨設(shè)函數(shù)g(x)=ex,
(Ⅰ)∵f′(x)=λg′[λx+(1-λ)a]-λg′(x),
由f′(x)>0得,g′[λx+(1-λ)a]>g′(x),
∴λx+(1-λ)a>x,即(1-λ)(x-a)<0,解得x<a,
故當(dāng)x<a時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>a時(shí),f′(x)<0;
∴當(dāng)x=a時(shí),f(x)取極大值f(a)=(1-λ)ea,但f(x)沒有極小值.     
(Ⅱ)∵|
ex-1
x
-1|
=|
ex-x-1
x
|
,
又當(dāng)x>0時(shí),令h(x)=ex-x-1,則h′(x)=ex-1>0,故h(x)>h(0)=0,
因此原不等式化為
ex-x-1
x
<a
,即ex-(1+a)x-1<0,
令g(x)=ex-(1+a)x-1,則g′(x)=ex-(1+a),
由g′(x)=0得:ex=1+a,解得x=ln(1+a),
當(dāng)0<x<ln(1+a)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>ln(1+a)時(shí),g′(x)>0,
故當(dāng)x=ln(1+a)時(shí),g(x)取最小值g[ln(1+a)]=a-(1+a)ln(1+a),
令s(a)=
a
1+a
-ln(1+a),a>0,則s′(a)=
1
(1+a)2
-
1
1+a
=-
a
(1+a)2
<0,
故s(a)<s(0)=0,即g[ln(1+a)]=a-(1+a)ln(1+a)<0,
因此,存在正數(shù)x=ln(1+a),使原不等式成立;
(Ⅲ)對(duì)任意正數(shù)a1,a2,存在實(shí)數(shù)x1,x2使a1=ex1,a2=ex2,
a1λ1a2λ2=eλ1x1eλ2x2=eλ1x1+λ2x2,λ1a12a2=λ1ex1+λ2ex2,
原不等式a1λ1a2λ2≤λ1a12a2?eλ1x1+λ2x2λ1ex1+λ2ex2?g(λ1x12x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2),
由(1)f(x)≤(1-λ)g(a)恒成立,故g[λx+(1-λ)a]≤λg(x)+(1-λ)g(a),
取x=x1,a=x2,λ=λ1,1-λ=λ2,即得g(λ1x12x2)≤λ1g(x1)+λ2g(x2),即eλ1x1+λ2x2λ1ex1+λ2ex2,
故所證不等式成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、極值,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力,本題綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)能力要求較高.
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1
x
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