Question

已知數(shù)列{f（n）}滿足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0且f（n）＞0
（1）求{f（n）}的通項公式；
（2）令a_n=3^1/f（n），b_n=4/f（n）+1（n∈N^*），若在數(shù)列{a_n}的前100項中，任取一項a_n，問a_n同
時也在數(shù)列是的某項的概率為多少？為什么？
（3）若將（2）中的前100項推廣到前n項（n∈N^*），且記上述概率為P_n，試猜測

lim

n→∞

Pn（不必證明）．

Answer 1

（1）由已知（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0且f（n）＞0
∴nf（n）=（n-1）f（n-1），
∴nf（n）=（n-1）f（n-1）=…=1•f（1）=1∴f（n）=

1

n

（2）a_n=3ⁿ，b_n=4n+1，當n=2m，∴a_n=9^m=（8+1）^m=…=8Q+1=4（2Q）+1∈{b_n}
當n=2m+1，∴a_n=3（8+1）^m=…=4（6Q）+3∉{b_n}∴在{a_n}中前100項中，所求的概率P=

50

100

=

1

2

（3）∵Pn=

1 2 n-1 2n

(n為偶數(shù)) (n為奇數(shù))

∴

lim

n→∞

Pn=

1

2