Question

如圖，一個圓形游戲轉(zhuǎn)盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域．用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是每次游戲所得的分?jǐn)?shù)（箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉(zhuǎn)動），且箭頭A指向每個區(qū)域的可能性都是相等的．在一次家庭抽獎的活動中，要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉(zhuǎn)動一次游戲轉(zhuǎn)盤，得分情況記為（a，b）（假設(shè)兒童和成人的得分互不影響，且每個家庭只能參加一次活動）．
（Ⅰ）求某個家庭得分為（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戲規(guī)定：一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品．請問某個家庭獲獎的概率為多少？
（Ⅲ）若共有5個家庭參加家庭抽獎活動．在（Ⅱ）的條件下，記獲獎的家庭數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）記某個家庭得分情況為（5，3）為事件A，由幾何概型公式可得，得5分與3分的概率，由相互獨立事件概率的乘法公式，計算可得答案；
（2）記某個家庭在游戲中獲獎為事件B，分析可得獲獎的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三種情況，由互斥事件的概率加法公式，計算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每個家庭獲獎的概率都是，分析可得X可取的值為0、1、2、3、4、5，由n次獨立重復(fù)實驗中恰有k次發(fā)生的概率公式計算可得X取0、1、2、3、4、5時的概率，列表可得X的分步列，由期望的計算公式可得X的期望．
解答：解：（Ⅰ）記某個家庭得分情況為（5，3）為事件A，
由幾何概型公式可得，得5分與3分的概率均為；
P（A）=×=．
所以某個家庭得分情況為（5，3）的概率為．
（Ⅱ）記某個家庭在游戲中獲獎為事件B，則符合獲獎條件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3類情況．
所以P（B）=×+×+×=，
所以某個家庭獲獎的概率為．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每個家庭獲獎的概率都是，而X可取的值為0、1、2、3、4、5，
P（X=0）=C₅（）（1-）⁵=，
P（X=1）=C₅¹（）¹（1-）⁴=，
P（X=2）=C₅²（）²（1-）³=，
P（X=3）=C₅³（）³（1-）²=，
P（X=4）=C₅⁴（）⁴（1-）¹=，
P（X=5）=C₅⁵（）⁵（1-）=，
所以X分布列為：

X		1	2	3	4	5
P

所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的數(shù)學(xué)期望為．
點評：本題考查互斥事件、相互獨立事件的概率計算以及隨機變量的分步列、期望的計算，計算量比較大，注意準(zhǔn)確記憶公式并正確計算．