已知
a
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，
b
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）的形式，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．
分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結合正弦函數(shù)的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出
2
3
x+
π
3
的范圍，利用 f（x）=sin（
2
3
x+
π
3
）+
3
2
，求出函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2
=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2

令sin（
2x
3
+
π
3
）=0⇒
2x
3
+
π
3
=kπ，解得：x=
3kπ
2
-
π
2
（k∈Z），

而y=f（x）的圖象可由y=sin（
2x
3
+
π
3
）向上平移
3
2
個單位得到，
故所求對稱中心的坐標為（
3kπ
2
-
π
2
，
3
2
）（k∈Z）

（2）cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
，
即cosx≥
1
2
，而x∈（0，π），所以x∈（0，
π
3
]，
∴
2x
3
+
π
3
∈（
π
3
，
5π
9
]，sin（
2x
3
+
π
3
）∈[sin
5π
9
，1]，
所以f（x）的值域為[sin
5π
9
+
3
2
，1+
3
2
]
綜上所述，x∈（0，
π
3
]，f（x）的值域為[sin
5π
9
+
3
2
，1+
3
2
]
點評：本題以向量為載體，考查向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)的化簡，同時考查了三角函數(shù)的性質，解題時，應掌握整體思維的策略．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sin
x
3
，cos
x
3
），
b
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），函數(shù)f（x）=
a
•
b
，
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c，滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•重慶三模）已知直線y=kx（k＞0）與函數(shù)y=|sinx|的圖象恰有三個公共點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，則有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
m
=(sin
x
3
，cos
x
3
)（x∈R），
n
=(
3
，-1)，且f(x)=
m
•
n
．
求：
（1）f(
5π
4
)的值；
（2）若A，B，C為△ABC的三個內角，A，B為銳角，且f(3A+
π
2
)=
10
13
，f(3B+2π)=
6
5
，求cosC的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•朝陽區(qū)二模）已知向量
m
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
n
=（sin
x
3
，cos
x
3
），函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域．

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