Question

16．某公司要招聘甲、乙兩類員工共150人，該公司員工的工資由基礎(chǔ)工資組成．其中甲、乙兩類員工每人每月的基礎(chǔ)工資分別為2千元和3千元，甲類員工每月的人均績效工資與公司月利潤成正比，比例系數(shù)為a（a＞0），乙類員工每月的績效工資與公司月利潤的平方成正比，比例系數(shù)為b（b＞0）．
（Ⅰ）若要求甲類員工的人數(shù)不超過乙類員工人數(shù)的2倍，問甲、乙兩類員工各招聘多少人時(shí)，公司每月所付基礎(chǔ)工資總額最少？
（Ⅱ）若該公司每月的利潤為x（x＞0）千元，記甲、乙兩類員工該月人均工資分別為w_甲千元和w_乙千元，試比較w_甲和w_乙的大�。�（月工資=月基礎(chǔ)工資+月績效工資）

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)招聘甲類員工人數(shù)為x，乙類員工人數(shù)為（150-x），求出公司每月所付的基礎(chǔ)工資總額，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由已知，w_甲=2+ax，w_乙=3+bx²，w_乙-w_甲=（3+bx²）-（2+ax）=bx²-ax+1（a＞0，b＞0，x＞0），分類討論，可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)招聘甲類員工人數(shù)為x，乙類員工人數(shù)為（150-x），公司每月所付的基礎(chǔ)工資總額為y千元，
因?yàn)閤≤2（150-x），所以0＜x≤100，x∈N…（1分）
因?yàn)閥=2x+3（150-x）=450-x…（2分）
x=100時(shí)，y_min=350，
所以甲類員工招聘100人，乙類員工招聘50人 時(shí)，公司每月所付的基礎(chǔ)工資
總額最少為 350000元…（4分）
（Ⅱ）由已知，w_甲=2+ax，w_乙=3+bx²…（5分）
w_乙-w_甲=（3+bx²）-（2+ax）=bx²-ax+1（a＞0，b＞0，x＞0）…（6分）
△=a²-4b
（ i）當(dāng)△＜0，即a²＜4b時(shí)，bx²-ax+1=0無實(shí)數(shù)根，
此時(shí)w_乙-w_甲＞0，即w_乙＞w_甲；…（7分）
（ ii）當(dāng)△=0，即a²=4b時(shí)，bx²-ax+1=0有兩個(gè)相等正實(shí)根$\frac{a}{2b}$，
 ①當(dāng)x=$\frac{a}{2b}$時(shí)，w_乙=w_甲；…（8分）
②當(dāng)x＞0且x≠$\frac{a}{2b}$時(shí)，w_乙＞w_甲；…（9分）
（ iii）當(dāng)△＞0，即a²＞4b時(shí)，bx²-ax+1=0有兩個(gè)不相等正數(shù)根$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$和$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，
 ①當(dāng)x∈（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，+∞）時(shí)，w_乙＞w_甲；…（10分）
②當(dāng)x∈（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$）時(shí)，w_乙＜w_甲；…（11分）
 ③當(dāng)x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$或$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4b}}{2b}$時(shí)，w_乙=w_甲…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生對(duì)不等式概念本質(zhì)的理解，比較大小及模型思想，分類討論思想，生活應(yīng)用意識(shí)．