5．已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*）．設(shè)bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N*），求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

分析 利用已知遞推關(guān)系，作差bn+1-bn，證明為常數(shù)即可．

解答 證明：∵a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$（n∈N*），
∴bn+1-bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，b1=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=1，
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知集合A={x||2x-1|＜3}，B={x|x＜1，或x＞3}，則A∩B等于（　　）
A．{x|-1＜x＜3}B．{x|x＜2，或x＞3}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x＜-1，或x＞3}

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16．甲乙比賽，先勝三局可贏得獎(jiǎng)金1千元．當(dāng)甲勝兩局乙勝一局時(shí)因故終止比賽．假設(shè)每局勝率甲乙都是0.5，現(xiàn)在獎(jiǎng)金應(yīng)該按怎樣的比例分配給甲乙（　�。�
A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．在東辰學(xué)校的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購進(jìn)面包，然后以5元/個(gè)的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠．根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如下圖所示．食堂某天購進(jìn)了90個(gè)面包，以x（單位：個(gè)，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（單位：元）表示利潤(rùn)．
（Ⅰ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），則取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的頻率），求食堂每天面包需求量的平均數(shù)．
（Ⅱ）求T關(guān)于x函數(shù)解析式；
（III）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于100元的概率．

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20．已知p是r的充分條件，而r是q的必要條件，同時(shí)又是s的充分條件，q是s的必要條件，試判斷：
（1）s是p的什么條件？
（2）p是q的什么條件？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且an2+an=2Sn，n∈N*．
（1）求a1及an；
（2）求滿足Sn＞210時(shí)n的最小值；
（3）令bn=4${\;}^{{a}_{n}}$，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜$\frac{1}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和為sn，滿足sn=2an-2
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和Tn，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿足${S_n}^2-（{n^2}+n-1）{S_n}-（{n^2}+n）=0$．
（1）求Sn及an；
（2）令${b_n}=\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}{a_n}^2}}$，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有$\frac{1}{18}≤{T_n}＜\frac{5}{64}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=1且a1，a3，a9成等比數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)bn=n•2${\;}^{{a}_{n}}$求數(shù)列[bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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