Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=

13

3

．函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在x=

π

6

處取得最大值，且最大值為a₃，則函數(shù)f（x）的解析式為

f(x)=3sin(2x+

π

6

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及q=3化簡S₃=

13

3

，解方程得到首項(xiàng)的值可得a₃的值，即可得到A的值，然后把x=

π

6

代入正弦函數(shù)中得到函數(shù)值等于1，根據(jù)φ的范圍，求出φ的值，把φ的值代入即可確定出f（x）的解析式．

解答：解：由等比數(shù)列{a_n}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=

13

3

可得

a1(1-33)

1-3

=

13

3

，解得 a₁=

1

3

．
∴a_n =

1

3

 3^n-1=3^n-2，∴a₃ =3．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最大值為3，所以A=3．
又因?yàn)楫?dāng)x=

π

6

時，f（x）取得最大值，所以sin（2×

π

6

+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=

π

6

，
則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+

π

6

），
故答案為 f（x）=3sin（2x+

π

6

）．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及通項(xiàng)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，是一道中檔題．