Question

1．已知橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為2，焦點(diǎn)在x軸上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為2，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦長AB．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．
（2）右焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0）．可得直線l的方程為：y=2x-2$\sqrt{3}$．設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），中點(diǎn)M（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立可得：17x²-32$\sqrt{3}$x+44=0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、根與系數(shù)的關(guān)系可得M，及其|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）右焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0）．
∴直線l的方程為：y=2（x-$\sqrt{3}$），即y=2x-2$\sqrt{3}$．
設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為17x²-32$\sqrt{3}$x+44=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32\sqrt{3}}{17}$，x₁x₂=$\frac{44}{17}$．
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{16\sqrt{3}}{17}$，y₀=2x₀-2$\sqrt{3}$=$-\frac{2\sqrt{3}}{17}$，
∴M$（\frac{16\sqrt{3}}{17}，\frac{-2\sqrt{3}}{17}）$．
|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[（\frac{32\sqrt{3}}{17}）^{2}-4×\frac{44}{17}]}$=$\frac{20}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．