Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：x²+y²=16和圓C₂：（x-7）²+（y-4）²=4，
（1）求過點(diǎn)（4，6）的圓C₁的切線方程；
（2）設(shè)P為坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2倍．試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，求出k，即可求過點(diǎn)（4，6）的圓C₁的切線方程；
（2）設(shè)出過P點(diǎn)的直線l₁與l₂的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)⊙C₁和⊙C₂的半徑，及直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2，可得⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離2倍，故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為y-6=k（x-4），
則圓心C₁到切線的距離$d=\frac{{|{4k-6}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=4$，解得$k=\frac{5}{12}$，
所以切線的方程為：5x-12y+52=0；
若切線的斜率不存在，則切線方程為x=4，符合題意．
綜上所述，過P點(diǎn)的圓C₁的切線方程為5x-12y+52=0或x=4． …（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，不妨設(shè)直線l₁的方程為：y-b=k（x-a）（k≠0），
即kx-y+b-ak=0（k≠0），
則直線l₂的方程為：$y-b=-\frac{1}{k}（x-a）$，即x+ky-bk-a=0．
因為圓C₁的半徑是圓C₂的半徑的2倍，
及直線l₁被圓C₁截得的弦長是直線l₂被圓C₂截得的弦長的2倍，
所以圓C₁的圓心到直線l₁的距離是圓C₂的圓心到直線l₂的距離的2倍，
即$\frac{{|{b-ak}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2•\frac{{|{7+4k-bk-a}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（8分）
整理得|ak-b|=|2a-14+（2b-8）k|
從而ak-b=2a-14+（2b-8）k或b-ak=2a-14+（2b-8）k，
即（a-2b+8）k=2a+b-14或（a+2b-8）k=-2a+b+14，
因為k的取值有無窮多個，所以$\left\{\begin{array}{l}a-2b+8=0\\ 2a+b-14=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a+2b-8=0\\-2a+b+14=0\end{array}\right.$，…（11分）     
解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{36}{5}\\ b=\frac{2}{5}\end{array}\right.$，這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P₁（4，6）或點(diǎn)${P_2}（\frac{36}{5}，\frac{2}{5}）$．
經(jīng)檢驗點(diǎn)P₁和點(diǎn)P₂滿足題目條件．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查圓的切線方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，對稱的知識，注意方程無數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，�？碱}型，是中檔題．