Question

20．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，將三角形ABD沿BD翻折．
（Ⅰ） 證明：在翻折過程中，始終有AE⊥BD；
（Ⅱ） 當(dāng)$AC=2\sqrt{3}$時(shí)，求二面角A-BD-C的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）在梯形ABCD中，連接BE，推導(dǎo)出四邊形ABDE為正方形，AE⊥BD，AF⊥BD，EF⊥BD，從而BD⊥面AEF，由此能證明BD⊥AE．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BD⊥BC，EF⊥BD，AF⊥BD，從而∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的大小．

解答 證明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，連接BE，
因?yàn)锳B⊥AD，AB=AD=2，所以$BD=2\sqrt{2}$
又$DE=\frac{1}{2}DC=2，AB∥CD$，所以四邊形ABDE為正方形，
在梯形ABCD中，連接AE交BD于F，則AE⊥BD…（2分）
翻折過程中，始終有AF⊥BD，EF⊥BD，
又AF∩EF=F，所以BD⊥面AEF，又AE?面AEF，所以BD⊥AE…（5分）
解：（Ⅱ）翻折前，四邊形ABDE為正方形，即有BE=2，BE⊥CD，
所以$BC=\sqrt{B{E^2}+E{C^2}}=2\sqrt{2}$，
在△BCD中，$B{D^2}+B{C^2}={（{2\sqrt{2}}）^2}+{（{2\sqrt{2}}）^2}=16=C{D^2}$，
所以BD⊥BC…（6分）
因?yàn)镋F∥BC，所以EF⊥BD，翻折之后，仍有EF⊥BD，
又AF⊥BD，所以∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，…（8分）
因?yàn)?AD=2，DC=4，AC=2\sqrt{3}$，
所以AD²+AC²=DC²，即AD⊥AC，
因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以$AE=\frac{1}{2}CD=2$．…（10分）
在△AFE中，$AF=\sqrt{A{B^2}-B{F^2}}=\sqrt{2}$，$EF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$，AE=2
所以AE²=EF²+AF²，即有EF⊥AF…（11分）
所以二面角A-BD-C為90°．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．