如圖，在凸四邊形ABCD中，C，D為定點(diǎn)，CD=
3
，A，B為動(dòng)點(diǎn)，滿足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）寫出cosC與cosA的關(guān)系式；
（Ⅱ）設(shè)△BCD和△ABD的面積分別為S和T，求S2+T2的最大值．
考點(diǎn)：余弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，兩者相等表示即可得到cosC與cosA的關(guān)系式；
（Ⅱ）利用三角形面積公式變形出S與T，進(jìn)而表示出S2+T2，將第一問(wèn)表示出的cosA代入得到關(guān)于cosC的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求出S2+T2的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）連接BD，
∵CD=
3
，AB=BC=DA=1，
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=4-2
3
cosC；
在△ABD中，BD2=2-2cosA，
∴4-2
3
cosC=2-2cosA，
則cosA=
3
cosC-1；
（Ⅱ）S=
1
2
BC•CD•sinC=
3
2
sinC，T=
1
2
AB•ADsinA=
1
2
sinA，
∵cosA=
3
cosC-1，
∴S2+T2=
3
4
sin2C+
1
4
sin2A=
3
4
（1-cos2C）+
1
4
（1-cos2A）=-
3
2
cos2C+
3
2
cosC+
3
4
=-
3
2
（cosC-
3
6
）2+
7
8
，
則當(dāng)cosC=
3
6
時(shí)，S2+T2有最大值
7
8
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中的真命題是（　�。�
A、若a＞b＞0，a＞c，則a2＞bc
B、若a＞b＞c，則
a
c
＞
b
c
C、若a＞b，n∈N*，則an＞bn
D、若a＞b＞0，則1na＜1nb

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E（0，-4）的直線與軌跡W交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)D是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1，證明A1，D，B三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(-
3
，
1
2
)，圓C2的直徑C1的長(zhǎng)軸．如圖，C是橢圓短軸端點(diǎn)，動(dòng)直線AB過(guò)點(diǎn)C且與圓C2交于A，B兩點(diǎn)，CD垂直于AB交橢圓于點(diǎn)D．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）求△ABD面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，8），N點(diǎn)在拋物線C上，且滿足
ON
=
3
4
OM
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B，l2與拋物線C交于不同兩點(diǎn)D，E，弦AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H．求當(dāng)直線l1的傾斜角在[
π
6
，
π
4
]時(shí)，直線GH被拋物線截得的弦長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（x+
π
3
）cosx．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）=
3
2
，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

為了監(jiān)測(cè)某海域的船舶航行情況，在該海域設(shè)立了如圖所示東西走向，相距20海里的A，B兩個(gè)觀測(cè)站，觀測(cè)范圍是到A，B兩觀測(cè)站距離之和不超過(guò)40海里的區(qū)域．
（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求觀測(cè)區(qū)域邊界曲線的方程；
（Ⅱ）某日上午7時(shí)，觀測(cè)站B發(fā)現(xiàn)在其正東10海里的C處，有一艘輪船正以每小時(shí)8海里的速度向北偏西45°方向航行，問(wèn)該輪船大約在什么時(shí)間離開觀測(cè)區(qū)域？（參考數(shù)據(jù)：
2
≈1.4，
3
≈1.7．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）=sin（x+θ）（0＜θ＜
 π 
2
）的圖象關(guān)于直線x=
 π 
6
對(duì)稱，則θ=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

點(diǎn)（1，1）在ax+y-1=0的上方，則不等式
x+y-2≥0
x-2≤0
ax-y+2≥0
所表示區(qū)域的面積S的取值范圍是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案