Question

3．二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的值域；
（3）若函數(shù)f（x+m）為偶函數(shù)，求f[f（m）]的值；
（4）求f（x）在[m，m+2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，由f（x+1）-f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程組求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式；
（2）求得二次函數(shù)的對稱軸，比較區(qū)間的關(guān)系，即可得到最值，進而得到值域；
（3）由偶函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于y軸對稱，可得m=-1，進而得到所求；
（4）對m討論，注意對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，由單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因為f（x+1）-f（x）=2x+3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x+3．
即2ax+a+b=2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+2；
（2）由f（x）=（x+1）²+1的對稱軸為x=-1∈[-3，4]，
即有x=-1取得最小值1，x=4取得最大值26，
則值域為[1，26]；
（3）f（x）=（x+1）²+1，即有f（x+m）=（x+m+1）²+1，
由函數(shù)f（x+m）為偶函數(shù)，則m+1=0，解得m=-1．
即有f（f（m））=f（f（-1））=f（1）=5．
（4）當m+2≤-1即m≤-3時，[m，m+2]為減區(qū)間，
最小值為f（m+2）=m²+6m+10；
當m≤-1＜m+2，即-3＜m≤-1時，x=-1取得最小值1；
當-1＜m＜m+2，即m＞-1時，區(qū)間[m，m+2]為增區(qū)間，
x=m取得最小值m²+2m+2．
綜上可得m≤-3時，最小值為m²+6m+10；
-3＜m≤-1時，最小值為1；
m＞-1時，最小值為m²+2m+2．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式和值域及最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．