Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知半徑為2的圓C，圓心在x軸正半軸上，且與直線x-$\sqrt{3}$y+2=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上，是否存在點P，滿足|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，其中，點Q的坐標是Q（-1，0）．若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；
（3）若在圓C上存在點M（m，n），使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交不同兩點A，B，求m的取值范圍．并求出使得△OAB的面積最大的點M的坐標及對應的△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓相切，根據(jù)點到直線的距離等于半徑，建立方程進行求解即可；
（2）根據(jù)|PQ|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|PO|，建立方程關(guān)系，進行判斷即可；
（3）根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)圓心是（a，0），（a＞0），它到直線x-$\sqrt{3}$y+2=0的距離是d=$\frac{|a+2|}{\sqrt{1+3}}$=2，
解得a=2或a=-6（舍去），所以，所求圓C的方程是（x-2）²+y²=4．（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的點P（x，y），則由$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PO$，得x²+y²+4x+2=0．（6分）
即，點P在圓D：（x+2）²+y²=2上，點P也在圓C：（x-2）²+y²=4上．
因為$|{CD}|=4＞{r_c}+{r_d}=2+\sqrt{2}$，所以圓C與圓D外離，圓C與圓D沒有公共點．
所以，不存在點P滿足條件．（8分）
（3）存在，理由如下：因為點M（m，n），在圓C上，所以（m-2）²+n²=4，
即n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4．
因為原點到直線l：mx+ny=1的距離h=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4m}}$＜1，解得$\frac{1}{4}$＜m≤4   （10分）
而|AB|=2$\sqrt{1-{h}^{2}}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\sqrt{{h}^{2}-{h}^{4}}$=$\sqrt{\frac{1}{4m}-（\frac{1}{4m}）^{2}}$=$\sqrt{-（\frac{1}{4m}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
因為$\frac{1}{16}≤$$\frac{1}{4m}$＜1，所以當$\frac{1}{4m}$=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{1}{2}$時，S_△OAB取得最大值$\frac{1}{2}$，
此時點M的坐標是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），△OAB的面積的最大值是$\frac{1}{2}$．（12分）

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應用，根據(jù)條件建立方程是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的計算能力．