如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F1、F2和短軸的一個(gè)端點(diǎn)A構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)（
3
，
3
2
）在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上的點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，以Q為圓心，PQ為半徑作圓Q，當(dāng)點(diǎn)F1在該圓上時(shí)，求圓的方程．
分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知b=
3
c，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，將點(diǎn)（
3
，
3
2
）的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得c，則橢圓的方程可得．
（2）欲求圓的方程，關(guān)鍵是求出其圓心坐標(biāo)和半徑．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），則Q點(diǎn)坐標(biāo)（-4，y）由PQ=F1Q，|x+4|=
(4-1)2+y2
，平方化簡(jiǎn)得x2+8x-y2+7=0與橢圓方程解得P，從而求出半徑及圓心．
解答：解：（1）依題意可知b=
3
c
∴a=
b2+c2
=2c
∴橢圓方程變?yōu)椋?span id="oyeiius" class="MathJye">
x2
4c2
+
y2
3c2
=1，
將點(diǎn)（
3
，
3
2
）的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得
(
3
)2
4c2
+
(
3
2
)2
3c2
=1，
∴c=1，
故橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1，
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），則Q點(diǎn)坐標(biāo)（-4，y）
由PQ=F1Q，|x+4|=
(4-1)2+y2
，
平方化簡(jiǎn)得x2+8x-y2+7=0與橢圓方程解得P（-
4
7
，±
3
15
7
），即Q的坐標(biāo)為（-4，±
3
15
7
）
r=4-
4
7
=
24
7
，
所求圓方程為(x+4)2+(y±
3
15
7
)2=
576
49
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的把握和理解，考查了方程思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A，上頂點(diǎn)為B，拋物線C1、C2分別以A、B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O．C1與C2相交于直線y=
2
x上一點(diǎn)P．
（Ⅰ）求橢圓C及拋物線C1、C2的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，已知點(diǎn)Q(-
2
，0），求
QM
.
QN
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•閘北區(qū)二模）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)F1為橢圓C的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓C上的點(diǎn)P在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)|PF1|取得最小值與最大值；
（Ⅱ）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）若直線l：y=kx+m與（Ⅱ）中所述橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且滿足AA2⊥BA2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1的左右頂點(diǎn)分別為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為以F1、F2為直徑的圓上異于F1、F2的動(dòng)點(diǎn)，直線PF1、PF2分別交橢圓C于M、N和D、E．
（1）證明：
AP
•
BP
為定值K；
（2）當(dāng)K=-2時(shí)，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形DMEN的面積最小，若存在，求出最小值和P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2、B1、B2，焦點(diǎn)為F1，
F2，|A1B1|=
7
，
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)l是過(guò)原點(diǎn)的直線，直線n與l垂直相交于P點(diǎn)，且n與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，|OP|=1，求
AP
•
PB
的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶三模）光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點(diǎn)處的切線反射．已知光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出；如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與雙曲線C′：
x2
m2
-
y2
n2
=1(m＞0，n＞0)有公共焦點(diǎn)，現(xiàn)一光線從它們的左焦點(diǎn)出發(fā)，在橢圓與雙曲線間連續(xù)反射，則光線經(jīng)過(guò)2k（k∈N*）次反射后回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案