Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由已知條件推導(dǎo)出，，由此能證明平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

試題解析：(1)連接BD，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，

由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC為直角三角形，

∴BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，又PD∩BD＝D，

∴BC⊥平面BDP，∴BC⊥DM.

又PD＝BD＝，PD⊥BD，M為PB的中點(diǎn)，

∴DM⊥PB，∵PB∩BC＝B，

∴DM⊥平面PBC。

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D－xyz，

則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，

從而，設(shè)是平面ADM的法向量，

則，即2∴可取．

同理，設(shè)是平面CDM的法向量，則，即2

∴可取，∴，

顯然二面角A－DM－C的大小為鈍角，∴所以二面角A－DM－C的余弦值為.