Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t），記函數(shù)f（x）=ax²+（a-b）x-c．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）必有兩個不同的零點．
（2）若函數(shù)y=f（x）的兩個零點分別為m，n，求|m-n|的取值范圍．
（3）是否存在這樣實數(shù)的a、b、c及t，使得函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]．若存在，求出t的值及函數(shù)y=f（x）的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，∵，∴，∴ac＞0．
對于函數(shù)f（x）=ax²+（a-b）x-c．有△=（a-b）²+4ac＞0，∴f（x）必有2個不同零點．
（2）
由不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t）可知，ax²+bx+c=0的兩個解分別為1和t（t＞1），
由韋達定理有，∴|m-n|²=t²+8t+4=（t+4）²-12，t∈（1，+∞），∴|m-n|²＞5²-12=13，∴，
即|m-n|的取值范圍為（，+∞）．
（3）假設存在滿足題意的實數(shù)a、b、c及t，∴
=a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），∴f（x）的對稱軸為，∴f（x）在[-2，1]的最小值為f（1）=3a=-6，則a=-2．
要使函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，只要f（x）_max=12即可．
①若時，f（x）_max=f（-2）=123，則有6t=12，∴t=24．
此時，a=-2，b=6，c=-4，t=2，∴f（x）=-2x²-8x+4．
②若，此時，，∴t=2（舍去），或t=-10（舍去 ）．
綜上所述：當a=-2，b=6，c=-4，t=2時，函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，此時函數(shù)的表達式為f（x）=-2x²-8x+4．
分析：（1）由題意可得ac＞0，對于函數(shù)f（x）=ax²+（a-b）x-c，由△=（a-b）²+4ac＞0，可得f（x）必有2個不同零點．
（2）化簡|m-n|²等于，由不等式ax²+bx+c＞0的解集為（1，t），可得有，化簡|m-n|² =（t+4）²-12，t∈（1，+∞），利用二次函數(shù)的性質(zhì)
可得|m-n|²的范圍，從而求得|m-n|的取值范圍．
（3）假設存在滿足題意的實數(shù)a、b、c及t，化簡f（x）等于a[x²+（2+t）x-t]（t≥1），f（x）的對稱軸為，分和兩種情況，
根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的值域為[-6，12]，分別求得a、b、c及t的值，從而得到結果．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．