Question

（2013•麗水一模）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：f（2x）=2f（x），且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，若x₁，x₂是方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x₁-x₂不可能是（　�。�

A．24

B．72

C．96

D．120

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又將方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出答案即可．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．
由題意方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的有兩個(gè)交點(diǎn)，
分別畫(huà)出它們的圖象，如圖所示，
所以可得函數(shù)y=f（x）圖象和直線y=a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差可以是2，4，8，16，32，64，…
由于24=8+16；96=32+64；120=8+16+32+64．
則x₁-x₂不可能是72．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具．