Question

平面內(nèi)一動點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1．
（1）求動點(diǎn)P（x，y）的軌跡C方程，用y²=f（x）形式表示；
（2）類似高二第二學(xué)期教材（12.4橢圓的性質(zhì)、12.6雙曲線的性質(zhì)、12.8拋物線的性質(zhì)）中研究曲線的方法請你研究軌跡C的性質(zhì)，請直接寫出答案；
（3）求△PF₁F₂周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1，建立方程，化簡可得結(jié)論；
（2）寫出對稱性、頂點(diǎn)、x、y范圍即可；
（3）表示出△PF₁F₂周長，確定|PF₁|的范圍，即可求△PF₁F₂周長的取值范圍．
解答：解：（1）∵動點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積等于1
∴|PF₁||PF₂|=1
∴×=1
化簡得y²=．    
（2）性質(zhì)：
對稱性：關(guān)于原點(diǎn)對稱、關(guān)于x軸對稱、關(guān)于y軸對稱                           
頂點(diǎn)：（0，0），（±，0）
x的范圍：-≤x≤
y的范圍：；                     
（3）△PF₁F₂周長為|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=|PF₁|++2
∵|PF₁|==（-≤x≤且x≠0）
∴|PF₁|∈
∴△PF₁F₂周長的取值范圍為（4，2+2）．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查曲線的性質(zhì)，考查三角形周長的求解，正確表示三角形的周長是關(guān)鍵．