已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,右焦點為F(1,0),直線l經(jīng)過點F,且與橢圓交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點.

   (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

   (II)若P是橢圓上的一個動點,求|PO|2+|PF|2的最大值和最小值;

   (III)當(dāng)直線l繞點F轉(zhuǎn)動時,試問:在x軸上是否存在定點S,使得?為常數(shù)?若存在,求出定點S的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)由題意可知,c=1,又e==,解得a=

所以b2=a2-c2=1

所以橢圓的方程為+ y2=1.

   (II)設(shè)P(x0,y0),則,所以2=2 -.

所以|PO|2+|PF|2=++( x0-1)2+=( x0-1)2+2

因為x0∈[-,],所以

當(dāng)x0= -時,|PO|2+|PF|2取得最大值(--1)2+2=5+2;

當(dāng)x0= 1時,|PO|2+|PF|2取得最小值2.

   (III)若直線l不垂直于x軸,可設(shè)l的方程為y=k(x-1).

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.

△=16k4-4(1+2k2)(2k2-2)=8k2+8>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

x1+ x2=,x1 x2=.

設(shè)S(t,0),則=( x1-t,y1),=( x2-t,y2),

=(x1-t)(x2-t)+ y1 y2

= x1 x2- t(x1+ x2)+ t 2+k2(x1-1)(x2-1)

=(1+ k2) x1 x2-( t +k2)( x1+ x2)+ t 2+k2

=(1+ k2)-( t +k2)+ t 2+k2

=

=

要使得=λ(λ為常數(shù)),只要=λ

即()k2 + (t2-2 -λ)=0.  (*)

對于任意實數(shù)k,要使(*)式恒成立,只要

解得

若直線l垂直于x軸,其方程為x=1.

此時,直線l與橢圓兩交點為A(1,)、B(1,一),

取點S(,0),有=(-,),=(-,-),

=(-)×(-)+×(-)

==λ .

綜上所述,過定點F(1,0)的動直線l與橢圓相交于A、B兩點,當(dāng)直線l繞點F轉(zhuǎn)動時,存在定點S(,0),使得=.

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已知橢圓=1(ab>0)的左焦點到右準(zhǔn)線的距離為,中心到準(zhǔn)線的距離為,則橢圓的方程為

A.+y2=1                                                     B.+y2=1

C.=1                                                  D. =1

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已知橢圓=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,過F2作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,若∠PF1F2=30°,那么橢圓的離心率是(    )

A.sin30°                  B.cos30°           C.tan30°                 D.sin45°

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已知橢圓=1(a>b>0)與雙曲線=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(    )

A.            B.               C.              D.

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已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點,點M在橢圓上, = +,求橢圓的方程.

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