Question

設(shè)a₁≈

2

，令a₂=1+

1

1+a1

．
（1）證明

2

介于a₁、a₂之間；
（2）求a₁、a₂中哪一個更接近于

2

；
（3）你能設(shè)計一個比a₂更接近于

2

的一個a₃嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）中，只要證明(

2

-a1)(

2

-a2)＜    0即可．
（2）用|

2

-a|來刻畫a與

2

的接近程度．
（3）由前兩題的規(guī)律，找出相應(yīng)滿足條件的數(shù)．

解答：（1）證明：（

2

-a₁）（

2

-a₂）=（

2

-a₁）•（

2

-1-

1

1+a1

）=

(1- 2 )( 2 -a1)2

1+a1

＜0．
∴

2

介于a₁、a₂之間．
（2）解：|

2

-a₂|=|

2

-1-

1

1+a1

|
=|

(1- 2 )( 2 -a1)

1+a1

|
=

2 -1

1+a1

|

2

-a₁|＜|

2

-a₁|．
∴a₂比a₁更接近于

2

．
（3）解：令a₃=1+

1

1+a2

，
則a₃比a₂更接近于

2

．
由（2）知|

2

-a₃|=

2 -1

1+a2

|

2

-a₂|＜|

2

-a₂|．

點評：本題中，對于大小比較時，主要是作差的方法．第三小問的處理，是在前兩問的基礎(chǔ)上觀察得到的規(guī)律．