Question

已知點(diǎn)A（3，0），F(xiàn)（2，0），在雙曲線x²-

y2

3

=1上求一點(diǎn)P，使|PA|+

1

2

|PF|的值最小．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：根據(jù)題意，算出雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

．作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義得到|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|．由平幾知識(shí)可得：當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PN|=|AN|達(dá)到最小值，由此即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和|PA|+

1

2

|PF|的最小值．

解答： 解∵雙曲線方程為x²-

y2

3

=1，
∴a=1，b=

3

，c=2，
可得離心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

1

2

，所以右準(zhǔn)線為l：x=

1

2

，
作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得

|PF|

|PN|

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|，
當(dāng)且僅當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PN|=|AN|達(dá)到最小值．
此時(shí)，在x²-

y2

3

=1中令y=0，得x=±1，
∵x＞0，∴取x=1
即當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，|PA|+

1

2

|PF|的最小值為|AN|=3-

1

2

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識(shí)，屬于中檔題．