Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

n²+

1

2

n，若b_n=（-1）ⁿ

2n+1

anan+1

，則數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)的和等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用遞推式可得a_n=n，可得b_n=（-1）ⁿ

2n+1

n(n+1)

=(-1)n(

1

n

+

1

n+1

)，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：∵S_n=

1

2

n²+

1

2

n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²+

1

2

n-[

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)]=n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

+

1

2

=1，上式也成立．
∴a_n=n．
∴b_n=（-1）ⁿ

2n+1

anan+1

=（-1）ⁿ

2n+1

n(n+1)

=(-1)n(

1

n

+

1

n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)的和=-(1+

1

2

)+(

1

2

+

1

3

)-(

1

3

+

1

4

)+…-(

1

2n-1

+

1

2n

)+(

1

2n

+

1

2n+1

)
=

1

2n+1

-1
=

-2n

2n+1

．
故答案為：

-2n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．