設f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)
（1）求證：f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；
（2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)+…+f(
1
2008
)．
分析：（1）先把f(x)=
1-x2
1+x2
(x∈R)中所有的x都換成
1
x
，得到f(
1
x
)，然后進行整理能證出f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)．
（2）由f(
1
x
)+f(x)=0知f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)．=f（1）+f（2），從而得到結果．
解答：解：（1）因為f(
1
x
)=
1-(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2-1
x2+1
，f(x)=
1-x2
1+x2
，（4分）
所以f(
1
x
)=-f(x)，(x≠0)；（6分）
（2）由（1）知f(
1
x
)+f(x)=0（3） （8分）
所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
1
3
)+f(
1
4
)+f(
1
5
)++f(
1
2008
)．
=f（1）+f（2）   （12分）
=0+
-3
5
=-
3
5
   （14分）．
點評：本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(x)=λ1(
a
3
x3+
b-1
2
x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
（1）當λ1=1，λ2=0時，設x1，x2是f（x）的兩個極值點，
①如果x1＜1＜x2＜2，求證：f'（-1）＞3；
②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）時，函數(shù)g（x）=f'（x）+2（x-x2）的最小值為h（a），求h（a）的最大值．
（2）當λ1=0，λ2=1時，
①求函數(shù)y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
②對于任意的實數(shù)a，b，c，當a+b+c=3時，求證3aa+3bb+3cc≥9．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
 
1-x2
，(|x|≤1)
|x|，(|x|＞1)
，若方程f（x）=a有且只有一個實根，則實數(shù)a滿足（　　）
A、a＜0B、0≤a＜1
C、a=1D、a＞1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•錦州一模）設函數(shù)f(x)=
1-x2，x≤1
x2-2，x＞1
，則 f(
1
f(2)
)的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)二模）某同學為研究函數(shù)f(x)=
1+x2
+
1+(1-x)2
(0≤x≤1)的性質(zhì)，構造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設CP=x，則AP+PF=f（x）．請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是
x=
1
2
x=
1
2
；函數(shù)g（x）=4f（x）-9的零點的個數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(x)=
1
1+x2
，|x|＞1
|x-1|-2，|x|≤1
，則f(f(
1
2
))=（　�。�
A、
1
2
B、
4
13
C、-
9
5
D、
25
41

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