已知函數(shù)f（x）=
x
2
+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=-x+2平行，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞-2成立，試求a的取值范圍．
考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）由已知條件得f′(x)=-
2
x2
+
a
x
，f′(1)=-
2
12
+
a
1
=-1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．
（Ⅱ）f′(x)=-
2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）在區(qū)間（
2
a
，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，
2
a
）上單調(diào)減，x=
2
a
時，函數(shù)f（x）取得最小值，ymin=f(
2
a
)，由此能求出a的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=
x
2
+alnx-2（a＞0），
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=-
2
x2
+
a
x
，
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=-x+2平行，
∴f′(1)=-
2
12
+
a
1
=-1，∴a=1，
∴f（x）=
2
x
+lnx-2，f′(x)=
x-2
x2
，令f′（x）=0，x=2，
由f′（x）＞0，解得x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，2），
∴f（x）的極小值為f（2）=ln2-1．
（Ⅱ）f′(x)=-
2
x2
+
a
x
=
ax-2
x2
，
由f′（x）＞0解得x＞
2
a
，由f′（x）＜0，解得0＜x＜
2
a
，
∴f（x）在區(qū)間（
2
a
，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，
2
a
）上單調(diào)減，
∴當(dāng)x=
2
a
時，函數(shù)f（x）取得最小值，ymin=f(
2
a
)，
∵對于?x∈（0，+∞），都有f（x）＞-2成立，
∴f（
2
a
）＞-2即可，
則
2
2
a
+aln
2
a
-2＞-2，則a+aln
2
a
＞0，
解得0＜a＜2e，
∴a的取值范圍是（0，2e）．
點評：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，若ac＜0，則其圖象與x軸交點個數(shù)是（　�。�
A、1個B、2個
C、沒有交點D、無法確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知y=f（x）的定義域（0，+∞）且滿足以下三個條件：
①對任意實數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立；
②f（x）在定義域上單調(diào)遞減；
③f（2）=-1．
（Ⅰ）求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）求不等式f（x2-x）≤f（3x+2）+2的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-1+
a
ex
（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)在點（0，f（0））處的切線垂直于y軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
2a
x
，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象上的點都在直線y=2的上方，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=
-3x+b
3x+1+a
是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大�。�
（Ⅲ）求證：平面MND⊥平面PCD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=
f(x)
x+1
-x在區(qū)間[t，+∞）（t∈N*）上存在極值，求t的最大值．
（參考數(shù)值：自然對數(shù)的底數(shù)e≈2.71828）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-
a
x
-2lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若
2e
e2+1
＜a＜1，設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個極值點，且x1＜1＜x2，記m、n分別為f（x）的極大值和極小值，令z=m-n，求實數(shù)z的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案