Question

已知函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)在點（0，f（0））處的切線垂直于y軸，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′(x)=1-

a

ex

，由函數(shù)在點（0，f（0））處的切線垂直于y軸，得1-a=0，由此能求出a=1．
（2）當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）無極值；當a＞0時，由f′(x)=1-

a

ex

=0，得e^x=a，x=lna，f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-1+

a

ex

，
∴f′(x)=1-

a

ex

，
∵函數(shù)在點（0，f（0））處的切線垂直于y軸，
∴1-a=0，解得a=1．
（2）①當a≤0時，f′（x）＞0，
f（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)，∴f（x）無極值；
②當a＞0時，由f′(x)=1-

a

ex

=0，得e^x=a，x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在∈（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．
綜上，當a≤0時，f（x）無極值；當a＞0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，考查函數(shù)的極值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．