已知定義在R上的函數(shù)f(x)=
b-2x
2x+a
是奇函數(shù)
(1)求a,b的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
f(0)=
b-1
a+1
=0
,
解得b=1,(1分)
f(x)=
1-2x
a+2x
,
f(-x)=
1-2-x
a+2-x
=
2x-1
a•2x+1
=-f(x)=
2x-1
a+2x

∴a•2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1對一切實(shí)數(shù)x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
f(x)=
1-2x
1+2x
=
2
1+2x
-1
,
f(x)在R上是減函數(shù).(4分)
證明:設(shè)x1,x2∈R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2
1+2x1
-
2
1+2x2

=-
2(2x1-2x2)
(1+2x1)(1+2x2)
,
∵x1<x2
2x22x1,1+2x1>0,1+2x2>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是減函數(shù),(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的減函數(shù),
∴t-2t2<k(10分)
k>t-2t2=-2(t-
1
4
)2+
1
8
對t∈R恒成立,
k>
1
8
.(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時(shí)f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時(shí),f(2013)的值為(  )
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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