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10.在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sin(π3-C)+cos(C-π6)=32
(1)求角C;
(2)若c=23,點(diǎn)O滿足|OA|=|OB|=|OC|,求CO•(CA+CB)的取值范圍.

分析 (1)由已知展開兩角差的正弦和余弦,結(jié)合角范圍即可求得C;
(2)由|OA|=|OB|=|OC|,可知O為△ABC的外心,把CO•(CA+CB)轉(zhuǎn)化為12a2+2,再由三角形中的余弦定理結(jié)合基本不等式求得CO•(CA+CB)的取值范圍.

解答 解:(1)在△ABC中,由sin(π3-C)+cos(C-π6)=32,
sinπ3cosCcosπ3sinC+cosCcosπ6+sinCsinπ6=32,
32cosC12sinC+32cosC+12sinC=32,
∴cosC=12,
∵0<C<π,
∴C=π3;
(2)c=23
由|OA|=|OB|=|OC|,可知O為△ABC的外心,
∴求CO•(CA+CB)=COCA+COCB=12|CA|2+|CB|2
c2=a2+22abcosπ3=a2+2ab,
可得a2+2212,
CO•(CA+CB)=a2+2212
CO•(CA+CB)的取值范圍是(0,12].

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了三角形的解法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

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