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10.在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sin(\frac{π}{3}-C)+cos(C-\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}
(1)求角C;
(2)若c=2\sqrt{3},點(diǎn)O滿足|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|,求\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})的取值范圍.

分析 (1)由已知展開兩角差的正弦和余弦,結(jié)合角范圍即可求得C;
(2)由|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|,可知O為△ABC的外心,把\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})轉(zhuǎn)化為\frac{1}{2}({a}^{2}+^{2}),再由三角形中的余弦定理結(jié)合基本不等式求得\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})的取值范圍.

解答 解:(1)在△ABC中,由sin(\frac{π}{3}-C)+cos(C-\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2},
sin\frac{π}{3}cosC-cos\frac{π}{3}sinC+cosCcos\frac{π}{6}+sinCsin\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\frac{\sqrt{3}}{2}cosC-\frac{1}{2}sinC+\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=\frac{\sqrt{3}}{2},
∴cosC=\frac{1}{2},
∵0<C<π,
∴C=\frac{π}{3};
(2)c=2\sqrt{3}
由|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|,可知O為△ABC的外心,
∴求\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CO}•\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{CB}{|}^{2})
{c}^{2}={a}^{2}+^{2}-2ab•cos\frac{π}{3}={a}^{2}+^{2}-ab,
可得\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≤12,
\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≤12
\overrightarrow{CO}•(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})的取值范圍是(0,12].

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了三角形的解法,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.

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